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Notas de Algebra en la UADY FIQ
Cap´tulo ?
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Espacios Vectoriales y Transformaciones Lineales
4.1. Espacios Vectoriales
El objeto principal de estudio del algebra lineal es el Espacio Vectorial. Este nombre ´ surge debido a que un espacio vectorial es un conjunto de vectores abstractos o vectores generalizados. Se generalizar´ el concepto de vector enunciando un conjunto de axiomas a que, si un conjunto de objetos hacen que estos axiomas se cumplan, llamaremos a los elementos de este conjunto “vectores”. Los axiomas se eligir´n generalizando las propiedades m´s importantes de los veca a tores en Rn , en consecuencia los vectores en Rn har´n que se cumplan de manera a autom´tica esos axiomas. As´ el nuevo concepto de vector abarcar´ a los vectores ana ?, a teriores y tambi´n a muchos vectores nuevos. Estos “vectores nuevos” incluir´n, entre e a otras cosas, varios tipos de matrices y funciones. La ventaja de estas generalizaciones se encuentra en el ahorro de trabajo, porque las propiedades de los vectores abstractos se aplican a todos los casos particulares.
4.1.1.
De?niciones y conceptos b´sicos a
Un espacio vectorial es un conjunto de objetos, sobre el que est´n de?nidas dos a ´ operaciones b´sicas. Estas operaciones son llamadas suma y la multiplicaci´n por un a o escalar. Llamamos “vectores” a los elementos de este conjunto. De?nici´n 4.1 Sea V un conjunto no vac´o sobre el que est´n de?nidas dos operao ? a ciones (la suma vectorial y la multiplicaci´n escalar). Si los siguientes axiomas o se cumplen para todo u, v y w en V y todo escalar1 c y d, entonces V se denomina espacio vectorial y sus elementos vectores:
En este curso usaremos unicamente n´meros reales como escalares, es decir, estudiaremos “Espacios ´ u vectoriales reales”.
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Axiomas de cerradura ? u + v est´ en V a ? cu est´ en V . a Axiomas de adici´n o ? u+v =v+u ? u + (v + w) = (u + v) + w Propiedad conmutativa Propiedad asociativa Cerradura bajo la suma Cerradura bajo la multiplicaci´n escalar o
? Existe un elemento en V , llamada el vector cero, denotado 0, tal que u + 0 = u. Id´ntico aditivo e ? Para todo u en V , existe un elemento en V llamado el negativo de u, denotado ?u, tal que u + (?u) = 0 Inverso aditivo Axiomas de multiplicaci´n escalar o ? c (u + v) = cu + cv ? (c + d) u = cu + du ? c (du) = (cd) u ? 1 (u) = u Propiedad distributiva Propiedad distributiva Propiedad asociativa Id´ntico escalar e
Debe de tener en mente que la de?nici´n de espacio vectorial no especi?ca la natuo raleza de los vectores ni las operaciones. Cualquier tipo de objeto puede ser un vector, y es posible que las operaciones de adici´n y multiplicaci´n escalar no guarden relaci´n o o o o semejanza con las operaciones vectoriales est´ndar sobre Rn . El unico requisito es que a ´ cumplan los 10 axiomas en la de?nici´n 4.1. o Ejemplo 4.2 Consideremos el conjunto con un s´lo elemento V = {1}. Observe que o no se cumple el axioma de cerradura bajo la suma. Por ejemplo: 1 + 1 = 2 ? V . Es / posible veri?car que no cumple otros axiomas, sin embargo, s´lo con demostrar que falla o al menos uno de los 10 axiomas queda probado que V no es un espacio vectorial. Ejemplo 4.3 El conjunto de puntos en R2 que est´n en una recta que pasa por el a origen constituye un espacio vectorial. Soluci´n. Considere el conjunto de?nido de la siguiente manera o ?? ? ? V = x, y | y = mx, donde m es un n´mero ?jo y x ? R u
Es decir, V consiste en todos los puntos que est´n sobre la recta y = mx que pasa por a el origen y tiene pendiente m. Para demostrar que V es un espacio vectorial, se puede veri?car que se cumple cada uno de los axiomas.
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? ? ? ? a ? Suponga que x = x1 , y1 y y = x2 , y2 est´n en V . Entonces y1 = mx1 y y2 = mx2 , entonces ? ? ? ? x + y = x1 , y 1 + x2 , y 2 ? ? ? ? = x1 , mx1 + x2 , mx2 ? ? = x1 + x2 , mx1 + mx2 ? ? = x1 + x2 , m (x1 + x2 ) ? V Por lo tanto se cumple el axioma de cerradura bajo la suma. ? ? ? Suponga que c ? R y x = x1 , y1 entonces ? ? cx = c x1 , y1 ? ? = c x1 , mx1 ? ? = cx1 , cmx1 ? ? = cx1 , m (cx1 ) ? V
Por lo tanto se cumple el axioma de cerradura bajo la multiplicaci´n escalar. o ? ? ? ? a ? Suponga que x = x1 , y1 y y = x2 , y2 est´n en V . entonces ? ? ? ? x + y = x1 , mx1 + x2 , mx2 ? ? = x1 + x2 , mx1 + mx2 ? ? = x2 + x1 , mx2 + mx1 ? ? ? ? = x2 , mx2 + x1 , mx1 =y+x Por lo tanto se cumple la propiedad conmutativa. ? ? ? ? ? ? ? Suponga que x = x1 , y1 , y = x2 , y2 y z = x3 , y3 est´n en V . entonces a ? ?? ? ? ?? ? x + (y + z) = x1 , mx1 + x2 , mx2 + x3 , y3 ? ? ? ? = x1 , mx1 + x2 + x3 , mx2 + mx3 ? ? = x1 + x2 + x3 , mx1 + mx2 + mx3 ? ? ? ? = x1 + x2 , mx1 + mx2 + x3 , y3 ?? ? ? ?? ? ? = x1 , mx1 + x2 , y2 + x3 , mx3 = (x + y) + z Por lo tanto se cumple la propiedad conmutativa.
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? ? ? ? ? Considere al vector 0 = 0, m (0) ? V . Entonces tomando a x = x1 , mx1 ? V se tiene ? ? ? ? x + 0 = x1 , mx1 y + 0, m (0) ? ? = x1 + 0, mx1 + m (0) y ? ? = 0, 0 =0 Por lo tanto se cumple con el axioma de id´ntico aditivo. e ? ? ? Suponga que x = x, mx ? V . Entonces ? ? ?x = ? x, y ? ? = ? x, mx ? ? = ?x, m (?x)
de manera que ?x tambi´n pertenece a V y e ? ? ? ? x + (?x) = x, mx + ?x, m (x) ? ? = x ? x, m (x ? x) ? ? = 0, 0 =0
Por lo tanto se cumple el axioma de inverso aditivo ? ? ? ? a ? Suponga que x = x1 , y1 y y = x2 , y2 est´n en V y c un escalar. Entonces: ? ? ?? ?? c (x + y) = c x1 , mx1 + x2 , mx2 ? ? = c x1 + x2 , mx1 + mx2 ? ? = c (x2 + x1 ) , c (mx2 + mx1 ) ? ? ? ? = x2 , mx2 + x1 , mx1 =y+x Por lo tanto se cumple la propiedad conmutativa. ? ? ? Suponga que x = x1 , y1 y c, d escalares. Entonces: ? ? (c + d) x = (c + d) x1 , (c + d) mx1 ? ? = cx1 + dx1 , cmx1 + dmx1 ? ? ? ? = cx1 , cmx1 + dx1 , dmx1 ? ? ? ? = c x1 , mx1 + d x1 , mx1 = cx + dx
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? ? ? Suponga que x = x1 , y1 y c, d escalares. Entonces: ? ? c (dx) = c dx1 , dmx1 ? ? = cd x1 , mx1 = (cd) x ? ? ? Suponga que x = x1 , y1 y 1 es un escalar. Entonces: ? ? 1x = 1x1 , 1mx1 ? ? = x1 , mx1 =x Despu´s de veri?car que se cumplen los 10 axiomas, concluimos que V es un espacio e vectorial. Ejemplo 4.4 El conjunto de puntos en R2 que est´n sobre una recta que no pasa por a el origen no constituye un espacio vectorial. Sea V = {(x, y) : y = 2x + 1, x ? R} Soluci´n. V no es un espacio vectorial porque no se cumple la cerradura bajo la suma. o a Suponga que x = (x1 , y1 ) y y = (x2 , y2 ) est´n en V . Entonces x + y = (x1 , y1 ) + (x2 , y2 ) = (x1 + x2 , y1 + y2 ) Si el vector del lado derecho estuviera en V , se tendria y1 + y2 = 2 (x1 + x2 ) + 1 = 2x1 + 2x2 + 1 Pero y1 = 2x1 + 1 y y2 = 2x2 + 1 de manera que y1 + y2 = (2x1 + 1) + (2x2 + 1) = 2x1 + 2x2 + 2 Por lo tanto se concluye que / (x1 + x2 , y1 + y2 ) ? V , si (x1 , y1 ) ? V y ? V En los ejemplos anteriores hemos visto que Rn y algunos de sus subconjuntos son espacios vectoriales. Sin embargo no son los unicos conjuntos que pueden constituir ´ un espacio vectorial. A continuaci´n veremos que tambi´n conjuntos de matrices o de o e polinomios pueden ser espacios vectoriales.
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Ejemplo 4.5 Considere el conjunto polinomios con coe?cientes reales de grado menor o igual a n. Llamemos a este conjunto Pn . Si p ? Pn entonces p (x) = an xn + an?1 xn?1 + · · · + a1 x + a0 donde cada ai es real. Soluci´n. Ya se ha probado que Rn+1 es un espacio vectorial, por lo que si se establece o una forma de representar a los elementos de Pn como elementos de Rn+1 , entonces Pn tambi´n es un espacio vectorial. e Para hacer la representaci´n entre Rn+1 y Pn , tomemos a p ? Pn , entonces p (x) = o n n?1 an x + an?1 x + · · · + a1 x + a0 ? Pn , y construyamos un vector con los coe?cientes de ? ? p, quedando v = an , an?1 , · · · , a1 , a0 . Observe que el vector obtenido tiene n+1 componentes y por tanto pertenece a Rn+1 . Se hace el mismo procedimiento para cada polinomio de Pn y de esta forma se muestra que podemos representar cada polinomio de Pn como vector de Rn+1 . De esta manera, concluimos que el conjunto de polinomios de grado menor o igual a n es un espacio vectorial. Ejemplo 4.6 Veri?car que el conjunto Mm×n , de matrices de m × n es un espacio vectorial. Soluci´n. De acuerdo a la de?nici´n 4.1, el conjunto Mm×n es un espacio vectorial si o o cumple los diez axiomas. A continuaci´n veri?caremos que se cumplen cada uno de los o axiomas. ? Axiomas de cerradura. Cerradura bajo la suma Suponga que A, B ? Mm×n entonces A + B ? Mm×n . De la de?nici´n 1.8 vemos que A + B es una matriz de m × n y de o aqui pertenece a Mm×n . Entonces se cumple el axioma de cerradura bajo la suma. Cerradura bajo la multiplicaci´n escalar De forma an´loga al axioma o a anterior se comprueba que si A ? Mm×n y c un escalar entonces por la de?nici´n 1.10 cA es una matriz de m × n y por tanton pertenece a Mm×n . o Con lo cu´l se cumple el axioma de cerradura bajo la multiplicaci´n escalar. a o ? Axiomas de adici´n o Propiedad conmutativa Considere las siguientes matrices A y B de m × n entonces por la propiedad 1 de la proposici´n 1.9 se cumple o A+B =B+A
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Propiedad asociativa De la misma forma si A, B, C ? Mm×n entonces por la propiedad 2 de la proposici´n 1.9 se cumple que o A + (B + C) = (A + B) + C ? Id´ntico aditivo El id´ntico aditivo en el conjunto Mm×n es la matriz nula de e e m × n, 0m×n ya que por la propiedad 3 de la proposici´n 1.9 se cumple o A + 0m×n = 0m×n + A = A ? Inverso aditivo El inverso aditivo de A ? Mm×n es la matriz de m × n que se obtiene al multiplicar A por el escalar (?1) llamada ?A. Esta matriz ?A ? Mm×n debido al axioma de cerradura bajo la multiplicaci´n escalar y cumple lo siguiente o A + (?A) = 0m×n ? Axiomas de multiplicaci´n escalar o Propiedad distributiva Considere las siguientes matrices A y B de m × n y el escalar c, entonces por la propiedad 1 de la proposici´n 1.11 se cumple o c (A + B) = cA + cB Propiedad distributiva De la misma forma si c, d son escalares y A ? Mm×n entonces por la propiedad 2 de la proposici´n 1.11 se cumple que o (c + d) A = cA + dA Propiedad asociativa Considere los escalares c y d y la matriz A ? Mm×n , entonces por la propiedad 3 de la proposici´n 1.11 se cumple o c (dA) = (cd) A Id´ntico escalar Veamos que si A ? Mm×n se cumple el axioma e 1 (A) = [1aij ] = [aij ] = A
Ejemplo 4.7 Considere el conjunto S3 de matrices invertibles de 3 × 3. Rede?niendo la operaci´n suma como o A ? B = AB y con la multiplicaci´n escalar est´ndar. Veri?car si S3 es un espacio vectorial. o a
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Soluci´n. Como los elementos de S3 son matrices invertibles, entonces usemos la funo ci´n determinante para determinar si una matriz de 3 × 3 pertenece a S3 . Para veri?car o los axiomas utilicemos las matrices invertibles de 3 × 3 A,B y C y los escalares c y d. Veri?cando los axiomas ? Axiomas de cerradura. Cerradura bajo la suma Utilizando la operaci´n suma de?nida para este o conjunto tenemos que probar que A ? B = AB ? S3 si det (AB) ?= 0 entonces AB es invertible. Como A y B son invertibles, entonces det (A) ?= 0 y det (B) ?= 0 y por el teorema 1.65 det (AB) = det (A) det (B) ?= 0 por lo tanto AB ? S3 y se cumple el axioma. Cerradura bajo la multiplicaci´n escalar Para veri?car que se cumple o el axioma, es su?ciente con ver que det (cA) ?= 0. Por el teorema 1.64 det (cA) = c3 det (A) sin embargo este resultado no siempre es diferente de cero, ya que cuando c=0 03 det (A) = 0 por lo que no se cumple este axioma. En este momento observamos que S3 no es un espacio vectorial, sin embargo contiuaremos con las pruebas de los siguientes axiomas. ? Axiomas de adici´n o Propiedad conmutativa En este axioma se tiene que mostrar que AB = BA sin embargo en la observaci´n 1.18 se indica que el producto de matrices no o es conmutativo, por lo que este axioma no se cumple. Propiedad asociativa De acuerdo a la suma de este conjunto para veri?car este axioma tenemos que ver que A (BC) = (AB) C se cumple debido a la propiedad 1 de la proposici´n 1.19. o
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? Id´ntico aditivo La matriz invertible que cumple con este axioma es I3 ya que e AI3 = A ? Inverso aditivo Para este conjunto, observe que para una matriz A ? S3 , el inverso aditivo es A?1 debido a AA?1 = I3 ? Axiomas de multiplicaci´n escalar o Propiedad distributiva Para veri?car este axioma se tiene que cumplir que c (AB) = cAcB = sin embargo de acuerdo a la propiedad 4 de la proposici´n 1.19 vemos que o c (AB) = (cA) B = A (cB) por lo que este axioma no se cumple. Propiedad distributiva De acuerdo a la propiedad 2 de la proposici´n 1.11 o se cumple (c + d) A = cA + dA Propiedad asociativa De acuerdo con la propiedad 3 de la proposici´n o 1.11 se cumple c (dA) = (cd) A Id´ntico escalar Veamos que se cumple el axioma e 1 (A) = [1aij ] = [aij ] = A Ejercicio 4.1 Determinar si los siguientes conjuntos son o no espacios vectoriales: ? El conjunto bajo las operaciones usuales. V = {(x, y) | y ? 0}
A ? B = AB ?A = ?A ? ? ? El conjunto de vectores en R3 de la forma x, x, x bajo las operaciones usuales. ? ? 1 ? bajo las operaciones usuales. ? El conjunto de matrices de la forma ? 1 ? El conjunto de polinomios de grado ? n con t´rmino constante cero. Utilizando e las operaciones usuales.
? El conjunto de matrices diagonales de n × n bajo las siguientes operaciones
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4.1.2.
Subespacios
De?nici´n 4.8 Sea V un espacio vectorial y U un subconjunto no vac´o de V . Si U o ? es un espacio vectorial bajo las operaciones de suma y multiplicaci´n escalar de V , o entonces U es un subespacio de V . U es un subespacio si cumple los axiomas de cerradura bajo la suma y multiplicaci´n o escalar. Ejemplo ?4.9 Considere el subconjunto W de R3 formado por los vectores de la forma ? a, a, b . Determine si W es un subespacio de R3 . Soluci´n. Veri?cando la cerradura bajo la suma tenemos que o ? ? ? ? ? ? a, a, b + c, c, d = a + c, a + c, b + d
como en la suma, las primeras dos componentes son id´nticas por lo que se cumple e el axioma. Debido a que se cumplen los dos axiomas de cerradura, entonces W es un subespacio de R3 . Ejemplo 4.10 Considere el subconjunto W de R3 formado por los vectores de la forma ? ? a, a2 , b . Determine si W es un subespacio de R3 . Soluci´n. Veri?cando la cerradura bajo la suma tenemos que o ? ? ? ? ? ? a, a2 , b + c, c2 , d = a + c, a2 + c2 , b + d
es un vector con las dos primeras componentes id´nticas, por lo que podemos concluir e que se cumple el axioma de cerradura bajo la suma. Ahora veri?quemos la cerradura bajo la multiplicaci´n escalar. o ? ? ? ? k a, a, b = ka, ka, kb
En este conjunto la forma que tiene los vectores es que la segunda componente es el cuadrado de la primera y de esta forma se puede observar que en el resultado de la suma la segunda componente a2 + c2 ?= (a + c)2 . Por lo tanto W no es no cumple el axioma de cerradura bajo la suma y no es un subespacio de R3 . Ejemplo 4.11 Pruebe que el conjunto U de matrices diagonales de 2 × 2 es un subespacio de M22 . Soluci´n. Se tiene que mostrar que U cumple los axiomas de cerradura bajo la suma o y bajo la multiplicaci´n escalar. Considere los siguientes dos elementos de U . o ? ? ? ? p 0 a 0 y v= u= 0 q 0 b
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Entonces
? ? ? ? ? a+p 0 p 0 a 0 = + u+v = 0 b+q 0 q 0 b ?
Observe que u + v es una matriz diagonal de 2 × 2, por lo u + v ? U y se cumple la cerradura bajo la suma. Sea c un escalar. Entonces ? ? ? ca 0 a 0 = cu = c 0 cb 0 b ? cu es una matriz diagonal de 2 × 2 y entonces se cumple la cerradura bajo la multiplicaci´n escalar. o Concluimos que U es un subespacio de M22 . Teorema 4.12 Sea U un subespacio de un espacio vectorial V . U contiene al vector cero de V ? ?? ? Ejemplo 4.13 Sea W = w ? R3 | w = a, a, a + 2 . Determine si W es un subespacio de R3 . Soluci´n. De acuerdo al teorema 4.12 si W no contiene al vector cero de R 3 entonces o no es un subespacio de R3 . Ahora para para determinar si el vector cero pertenece a W es necesario que se cumpla ? ? ? ? a, a, a + 2 = 0, 0, 0 entonces a=0 a=0 a+2=0 Sin embargo el sistema anterior no tiene soluci´n con lo que se concluye que no existe o alg´n valor de a con el que se pueda obtener el vector cero. u Por lo tanto W no es un subespacio de R3 Ejemplo 4.14 Considere el conjunto V = P4 determine si H = {p ? P4 | p (0) = 1} es un subespacio de P4 Soluci´n. Para que un polinomio pertenezca a H, tiene que cumplir que al evaluarlo o en 0 el resultado es 1, esto es que el t´rmino constante del polinomio es 1. Veri?cando e la cerradura bajo la suma tenemos que si p (x) y q (x) est´n en P4 , entonces a ? ? 4 ? ? 4 p (x) + q (x) = a4 x + a3 x3 + a2 x2 + a1 x + 1 + b4 x + b3 x3 + b2 x2 + b1 x + 1 = (a4 + b4 ) x4 + (a3 + b3 ) x3 + (a2 + b2 ) x2 + (a1 + b1 ) x + 2
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donde podemos observar que el polinomio p (x) + q (x) tiene como t´rmino constante 2 e y por tanto no pertenece a H, con lo que conluimos que H no es un subespacio de V . Ejercicio 4.2 Determine si el conjunto dado H del espacio vectorial V es un subespacio de V ? V = R2 ; H = {(x, y) | y ? 0} ? V = Mm×n ; H = {T ? Mm×n | T es triangular superior} ? V = Pn ; H = {p ? Pn | p (0) = 0 y p? (0) = 0} ? V = Mm×n ; H = {A ? Mm×n | aij = 0}
4.1.3.
Combinaci´n Lineal y Espacio generado o
En esta secci´n estudiaremos las combinaciones lineales de vectores y los espacios o vectoriales generados por un conjunto de vectores. Estos conceptos tambi´n nos servir´n e a para entender el concepto de Base de un espacio vectorial. De?nici´n 4.15 Un vector v en un espacio vectorial V se denomina combinaci´n o o lineal de los vectores u1 , u2 , · · · , uk en V si v puede expresarse en la forma v = c1 u1 + c2 u2 + · · · + ck uk ? ? ? ? Ejemplo 4.16 Considere los vectores v1 = 1, 3, 1 , v2 = 0, 1, 2 , y v3 = ? ? 1, 0, ?5 . v1 es una combinaci´n lineal de v2 y v3 porque o v1 = 3v2 + v3 ? ? ? ? = 3 1, 3, 1 + 1, 0, ?5 ? ? = 1, 3, 1 donde c1 , c2 , · · · , ck son escalares.
Ejemplo 4.17 Considere los siguientes vectores que ? ? ? ? ? 0 2 ?1 0 8 v1 = , v3 = , v2 = 1 0 1 2 1 v1 es una combinaci´n lineal de v2 , v3 y v4 porque o
pertenecen a M2×2 ? ? ? 3 ?2 0 , v4 = 2 1 3
v1 = v2 + 2v3 ? v4 ? ? ? ? ? ? 0 2 ?1 3 ?2 0 = +2 ? 1 3 1 0 1 2 ? ? 0 8 = 2 1
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En los ejemplos anteriores se proporcionan los escalares para que se observe como se forma la combinanci´n lineal. A continuaci´n se mostrar´ como obtener los escalares, o o a en caso de que existan, para expresar a un vector como combinaci´n lineal de otros. o ? ? Ejemplo 4.18 Determine si ? vector 8, 0, 5 es una combinaci´n lineal de los el ? o ? ? ? ? vectores 1, 2, 3 , 0, 1, 4 y 2, ?1, 1 ? R3 . ? ? ? ? ? ? Soluci´n. Para mostrar que 8, 0, 5 es una combinaci´n lineal 1, 2, 3 , 0, 1, 4 o o ? ? y 2, ?1, 1 , entonces deben de existir escalares c1 , c2 y c3 tales que se cumpla ? ? ? ? ? ? ? ? 8, 0, 5 = c1 1, 2, 3 + c2 0, 1, 4 + c3 2, ?1, 1 ? ? ? ? ? ? = c1 , 2c1 , 3c1 + 0, c2 , 4c2 + 2c3 , ?c3 , c3 ? ? = c1 + 2c3 , 2c1 + c2 ? c3, 3c1 + 4c2 + c3 por lo que para encontrar los valores de c1 , c2 y c3 resolvemos el siguiente sistema de ecuaciones. c1 + 2c3 = 8 2c1 + c2 ? c3 = 0 3c1 + 4c2 + c3 = 5 ? ? y Por vector 8, 0, 5 cuya soluci´n es c1 = 2, c2 = ?1 ? c3 = 3. ? ? lo que nos queda que el ? o ? ? si es una combinaci´n lineal de 1, 2, 3 , 0, 1, 4 y 2, ?1, 1 o ? ? ? ? ? ? ? ? 8, 0, 5 = 2 1, 2, 3 ? 1 0, 1, 4 + 3 2, ?1, 1
En caso de que el sistema no hubiera tenido soluci´n, no hubiera sido posible expresar o al vector como una combinaci´n lineal de los otros vectores. o ? ? ? ? ? ? 2 ?3 1 0 ?1 7 es una combinaci´n lineal de o Ejemplo 4.19 Determine si la matriz , 0 2 2 1 8 ?1 ? ? 0 1 y ? M2×2 . 2 0 o Ejemplo 4.20 Determine si el polinomio p (x) = 2x2 + 6x + 7 es una combinaci´n 2 lineal de q (x) = x + 1 y r (x) = 2x + 3. Ejercicio 4.3 Determinar si el conjunto dado de vectores genera al espacio vectorial dado ? ? ? ? ? ? ? En R2 : 0, 1 ; 3, 4 ; ?1, 2 ? ? ? ? ? ? ? En R3 : 1, 1, 1 ; 0, 1, 1 ; 0, 0, 1 ? En P2 : 1 ? x, 3 ? x2 ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 5 4 ?1 1 2 1 0 ; ; ; ? En M22 : 6 0 3 0 0 0 1 0
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Espacios Vectoriales y Transformaciones Lineales
4.1. Espacios Vectoriales
El objeto principal de estudio del algebra lineal es el Espacio Vectorial. Este nombre ´ surge debido a que un espacio vectorial es un conjunto de vectores abstractos o vectores generalizados. Se generalizar´ el concepto de vector enunciando un conjunto de axiomas a que, si un conjunto de objetos hacen que estos axiomas se cumplan, llamaremos a los elementos de este conjunto “vectores”. Los axiomas se eligir´n generalizando las propiedades m´s importantes de los veca a tores en Rn , en consecuencia los vectores en Rn har´n que se cumplan de manera a autom´tica esos axiomas. As´ el nuevo concepto de vector abarcar´ a los vectores ana ?, a teriores y tambi´n a muchos vectores nuevos. Estos “vectores nuevos” incluir´n, entre e a otras cosas, varios tipos de matrices y funciones. La ventaja de estas generalizaciones se encuentra en el ahorro de trabajo, porque las propiedades de los vectores abstractos se aplican a todos los casos particulares.
4.1.1.
De?niciones y conceptos b´sicos a
Un espacio vectorial es un conjunto de objetos, sobre el que est´n de?nidas dos a ´ operaciones b´sicas. Estas operaciones son llamadas suma y la multiplicaci´n por un a o escalar. Llamamos “vectores” a los elementos de este conjunto. De?nici´n 4.1 Sea V un conjunto no vac´o sobre el que est´n de?nidas dos operao ? a ciones (la suma vectorial y la multiplicaci´n escalar). Si los siguientes axiomas o se cumplen para todo u, v y w en V y todo escalar1 c y d, entonces V se denomina espacio vectorial y sus elementos vectores:
En este curso usaremos unicamente n´meros reales como escalares, es decir, estudiaremos “Espacios ´ u vectoriales reales”.
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Axiomas de cerradura ? u + v est´ en V a ? cu est´ en V . a Axiomas de adici´n o ? u+v =v+u ? u + (v + w) = (u + v) + w Propiedad conmutativa Propiedad asociativa Cerradura bajo la suma Cerradura bajo la multiplicaci´n escalar o
? Existe un elemento en V , llamada el vector cero, denotado 0, tal que u + 0 = u. Id´ntico aditivo e ? Para todo u en V , existe un elemento en V llamado el negativo de u, denotado ?u, tal que u + (?u) = 0 Inverso aditivo Axiomas de multiplicaci´n escalar o ? c (u + v) = cu + cv ? (c + d) u = cu + du ? c (du) = (cd) u ? 1 (u) = u Propiedad distributiva Propiedad distributiva Propiedad asociativa Id´ntico escalar e
Debe de tener en mente que la de?nici´n de espacio vectorial no especi?ca la natuo raleza de los vectores ni las operaciones. Cualquier tipo de objeto puede ser un vector, y es posible que las operaciones de adici´n y multiplicaci´n escalar no guarden relaci´n o o o o semejanza con las operaciones vectoriales est´ndar sobre Rn . El unico requisito es que a ´ cumplan los 10 axiomas en la de?nici´n 4.1. o Ejemplo 4.2 Consideremos el conjunto con un s´lo elemento V = {1}. Observe que o no se cumple el axioma de cerradura bajo la suma. Por ejemplo: 1 + 1 = 2 ? V . Es / posible veri?car que no cumple otros axiomas, sin embargo, s´lo con demostrar que falla o al menos uno de los 10 axiomas queda probado que V no es un espacio vectorial. Ejemplo 4.3 El conjunto de puntos en R2 que est´n en una recta que pasa por el a origen constituye un espacio vectorial. Soluci´n. Considere el conjunto de?nido de la siguiente manera o ?? ? ? V = x, y | y = mx, donde m es un n´mero ?jo y x ? R u
Es decir, V consiste en todos los puntos que est´n sobre la recta y = mx que pasa por a el origen y tiene pendiente m. Para demostrar que V es un espacio vectorial, se puede veri?car que se cumple cada uno de los axiomas.
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? ? ? ? a ? Suponga que x = x1 , y1 y y = x2 , y2 est´n en V . Entonces y1 = mx1 y y2 = mx2 , entonces ? ? ? ? x + y = x1 , y 1 + x2 , y 2 ? ? ? ? = x1 , mx1 + x2 , mx2 ? ? = x1 + x2 , mx1 + mx2 ? ? = x1 + x2 , m (x1 + x2 ) ? V Por lo tanto se cumple el axioma de cerradura bajo la suma. ? ? ? Suponga que c ? R y x = x1 , y1 entonces ? ? cx = c x1 , y1 ? ? = c x1 , mx1 ? ? = cx1 , cmx1 ? ? = cx1 , m (cx1 ) ? V
Por lo tanto se cumple el axioma de cerradura bajo la multiplicaci´n escalar. o ? ? ? ? a ? Suponga que x = x1 , y1 y y = x2 , y2 est´n en V . entonces ? ? ? ? x + y = x1 , mx1 + x2 , mx2 ? ? = x1 + x2 , mx1 + mx2 ? ? = x2 + x1 , mx2 + mx1 ? ? ? ? = x2 , mx2 + x1 , mx1 =y+x Por lo tanto se cumple la propiedad conmutativa. ? ? ? ? ? ? ? Suponga que x = x1 , y1 , y = x2 , y2 y z = x3 , y3 est´n en V . entonces a ? ?? ? ? ?? ? x + (y + z) = x1 , mx1 + x2 , mx2 + x3 , y3 ? ? ? ? = x1 , mx1 + x2 + x3 , mx2 + mx3 ? ? = x1 + x2 + x3 , mx1 + mx2 + mx3 ? ? ? ? = x1 + x2 , mx1 + mx2 + x3 , y3 ?? ? ? ?? ? ? = x1 , mx1 + x2 , y2 + x3 , mx3 = (x + y) + z Por lo tanto se cumple la propiedad conmutativa.
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? ? ? ? ? Considere al vector 0 = 0, m (0) ? V . Entonces tomando a x = x1 , mx1 ? V se tiene ? ? ? ? x + 0 = x1 , mx1 y + 0, m (0) ? ? = x1 + 0, mx1 + m (0) y ? ? = 0, 0 =0 Por lo tanto se cumple con el axioma de id´ntico aditivo. e ? ? ? Suponga que x = x, mx ? V . Entonces ? ? ?x = ? x, y ? ? = ? x, mx ? ? = ?x, m (?x)
de manera que ?x tambi´n pertenece a V y e ? ? ? ? x + (?x) = x, mx + ?x, m (x) ? ? = x ? x, m (x ? x) ? ? = 0, 0 =0
Por lo tanto se cumple el axioma de inverso aditivo ? ? ? ? a ? Suponga que x = x1 , y1 y y = x2 , y2 est´n en V y c un escalar. Entonces: ? ? ?? ?? c (x + y) = c x1 , mx1 + x2 , mx2 ? ? = c x1 + x2 , mx1 + mx2 ? ? = c (x2 + x1 ) , c (mx2 + mx1 ) ? ? ? ? = x2 , mx2 + x1 , mx1 =y+x Por lo tanto se cumple la propiedad conmutativa. ? ? ? Suponga que x = x1 , y1 y c, d escalares. Entonces: ? ? (c + d) x = (c + d) x1 , (c + d) mx1 ? ? = cx1 + dx1 , cmx1 + dmx1 ? ? ? ? = cx1 , cmx1 + dx1 , dmx1 ? ? ? ? = c x1 , mx1 + d x1 , mx1 = cx + dx
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? ? ? Suponga que x = x1 , y1 y c, d escalares. Entonces: ? ? c (dx) = c dx1 , dmx1 ? ? = cd x1 , mx1 = (cd) x ? ? ? Suponga que x = x1 , y1 y 1 es un escalar. Entonces: ? ? 1x = 1x1 , 1mx1 ? ? = x1 , mx1 =x Despu´s de veri?car que se cumplen los 10 axiomas, concluimos que V es un espacio e vectorial. Ejemplo 4.4 El conjunto de puntos en R2 que est´n sobre una recta que no pasa por a el origen no constituye un espacio vectorial. Sea V = {(x, y) : y = 2x + 1, x ? R} Soluci´n. V no es un espacio vectorial porque no se cumple la cerradura bajo la suma. o a Suponga que x = (x1 , y1 ) y y = (x2 , y2 ) est´n en V . Entonces x + y = (x1 , y1 ) + (x2 , y2 ) = (x1 + x2 , y1 + y2 ) Si el vector del lado derecho estuviera en V , se tendria y1 + y2 = 2 (x1 + x2 ) + 1 = 2x1 + 2x2 + 1 Pero y1 = 2x1 + 1 y y2 = 2x2 + 1 de manera que y1 + y2 = (2x1 + 1) + (2x2 + 1) = 2x1 + 2x2 + 2 Por lo tanto se concluye que / (x1 + x2 , y1 + y2 ) ? V , si (x1 , y1 ) ? V y ? V En los ejemplos anteriores hemos visto que Rn y algunos de sus subconjuntos son espacios vectoriales. Sin embargo no son los unicos conjuntos que pueden constituir ´ un espacio vectorial. A continuaci´n veremos que tambi´n conjuntos de matrices o de o e polinomios pueden ser espacios vectoriales.
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Ejemplo 4.5 Considere el conjunto polinomios con coe?cientes reales de grado menor o igual a n. Llamemos a este conjunto Pn . Si p ? Pn entonces p (x) = an xn + an?1 xn?1 + · · · + a1 x + a0 donde cada ai es real. Soluci´n. Ya se ha probado que Rn+1 es un espacio vectorial, por lo que si se establece o una forma de representar a los elementos de Pn como elementos de Rn+1 , entonces Pn tambi´n es un espacio vectorial. e Para hacer la representaci´n entre Rn+1 y Pn , tomemos a p ? Pn , entonces p (x) = o n n?1 an x + an?1 x + · · · + a1 x + a0 ? Pn , y construyamos un vector con los coe?cientes de ? ? p, quedando v = an , an?1 , · · · , a1 , a0 . Observe que el vector obtenido tiene n+1 componentes y por tanto pertenece a Rn+1 . Se hace el mismo procedimiento para cada polinomio de Pn y de esta forma se muestra que podemos representar cada polinomio de Pn como vector de Rn+1 . De esta manera, concluimos que el conjunto de polinomios de grado menor o igual a n es un espacio vectorial. Ejemplo 4.6 Veri?car que el conjunto Mm×n , de matrices de m × n es un espacio vectorial. Soluci´n. De acuerdo a la de?nici´n 4.1, el conjunto Mm×n es un espacio vectorial si o o cumple los diez axiomas. A continuaci´n veri?caremos que se cumplen cada uno de los o axiomas. ? Axiomas de cerradura. Cerradura bajo la suma Suponga que A, B ? Mm×n entonces A + B ? Mm×n . De la de?nici´n 1.8 vemos que A + B es una matriz de m × n y de o aqui pertenece a Mm×n . Entonces se cumple el axioma de cerradura bajo la suma. Cerradura bajo la multiplicaci´n escalar De forma an´loga al axioma o a anterior se comprueba que si A ? Mm×n y c un escalar entonces por la de?nici´n 1.10 cA es una matriz de m × n y por tanton pertenece a Mm×n . o Con lo cu´l se cumple el axioma de cerradura bajo la multiplicaci´n escalar. a o ? Axiomas de adici´n o Propiedad conmutativa Considere las siguientes matrices A y B de m × n entonces por la propiedad 1 de la proposici´n 1.9 se cumple o A+B =B+A
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Propiedad asociativa De la misma forma si A, B, C ? Mm×n entonces por la propiedad 2 de la proposici´n 1.9 se cumple que o A + (B + C) = (A + B) + C ? Id´ntico aditivo El id´ntico aditivo en el conjunto Mm×n es la matriz nula de e e m × n, 0m×n ya que por la propiedad 3 de la proposici´n 1.9 se cumple o A + 0m×n = 0m×n + A = A ? Inverso aditivo El inverso aditivo de A ? Mm×n es la matriz de m × n que se obtiene al multiplicar A por el escalar (?1) llamada ?A. Esta matriz ?A ? Mm×n debido al axioma de cerradura bajo la multiplicaci´n escalar y cumple lo siguiente o A + (?A) = 0m×n ? Axiomas de multiplicaci´n escalar o Propiedad distributiva Considere las siguientes matrices A y B de m × n y el escalar c, entonces por la propiedad 1 de la proposici´n 1.11 se cumple o c (A + B) = cA + cB Propiedad distributiva De la misma forma si c, d son escalares y A ? Mm×n entonces por la propiedad 2 de la proposici´n 1.11 se cumple que o (c + d) A = cA + dA Propiedad asociativa Considere los escalares c y d y la matriz A ? Mm×n , entonces por la propiedad 3 de la proposici´n 1.11 se cumple o c (dA) = (cd) A Id´ntico escalar Veamos que si A ? Mm×n se cumple el axioma e 1 (A) = [1aij ] = [aij ] = A
Ejemplo 4.7 Considere el conjunto S3 de matrices invertibles de 3 × 3. Rede?niendo la operaci´n suma como o A ? B = AB y con la multiplicaci´n escalar est´ndar. Veri?car si S3 es un espacio vectorial. o a
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Soluci´n. Como los elementos de S3 son matrices invertibles, entonces usemos la funo ci´n determinante para determinar si una matriz de 3 × 3 pertenece a S3 . Para veri?car o los axiomas utilicemos las matrices invertibles de 3 × 3 A,B y C y los escalares c y d. Veri?cando los axiomas ? Axiomas de cerradura. Cerradura bajo la suma Utilizando la operaci´n suma de?nida para este o conjunto tenemos que probar que A ? B = AB ? S3 si det (AB) ?= 0 entonces AB es invertible. Como A y B son invertibles, entonces det (A) ?= 0 y det (B) ?= 0 y por el teorema 1.65 det (AB) = det (A) det (B) ?= 0 por lo tanto AB ? S3 y se cumple el axioma. Cerradura bajo la multiplicaci´n escalar Para veri?car que se cumple o el axioma, es su?ciente con ver que det (cA) ?= 0. Por el teorema 1.64 det (cA) = c3 det (A) sin embargo este resultado no siempre es diferente de cero, ya que cuando c=0 03 det (A) = 0 por lo que no se cumple este axioma. En este momento observamos que S3 no es un espacio vectorial, sin embargo contiuaremos con las pruebas de los siguientes axiomas. ? Axiomas de adici´n o Propiedad conmutativa En este axioma se tiene que mostrar que AB = BA sin embargo en la observaci´n 1.18 se indica que el producto de matrices no o es conmutativo, por lo que este axioma no se cumple. Propiedad asociativa De acuerdo a la suma de este conjunto para veri?car este axioma tenemos que ver que A (BC) = (AB) C se cumple debido a la propiedad 1 de la proposici´n 1.19. o
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? Id´ntico aditivo La matriz invertible que cumple con este axioma es I3 ya que e AI3 = A ? Inverso aditivo Para este conjunto, observe que para una matriz A ? S3 , el inverso aditivo es A?1 debido a AA?1 = I3 ? Axiomas de multiplicaci´n escalar o Propiedad distributiva Para veri?car este axioma se tiene que cumplir que c (AB) = cAcB = sin embargo de acuerdo a la propiedad 4 de la proposici´n 1.19 vemos que o c (AB) = (cA) B = A (cB) por lo que este axioma no se cumple. Propiedad distributiva De acuerdo a la propiedad 2 de la proposici´n 1.11 o se cumple (c + d) A = cA + dA Propiedad asociativa De acuerdo con la propiedad 3 de la proposici´n o 1.11 se cumple c (dA) = (cd) A Id´ntico escalar Veamos que se cumple el axioma e 1 (A) = [1aij ] = [aij ] = A Ejercicio 4.1 Determinar si los siguientes conjuntos son o no espacios vectoriales: ? El conjunto bajo las operaciones usuales. V = {(x, y) | y ? 0}
A ? B = AB ?A = ?A ? ? ? El conjunto de vectores en R3 de la forma x, x, x bajo las operaciones usuales. ? ? 1 ? bajo las operaciones usuales. ? El conjunto de matrices de la forma ? 1 ? El conjunto de polinomios de grado ? n con t´rmino constante cero. Utilizando e las operaciones usuales.
? El conjunto de matrices diagonales de n × n bajo las siguientes operaciones
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4.1.2.
Subespacios
De?nici´n 4.8 Sea V un espacio vectorial y U un subconjunto no vac´o de V . Si U o ? es un espacio vectorial bajo las operaciones de suma y multiplicaci´n escalar de V , o entonces U es un subespacio de V . U es un subespacio si cumple los axiomas de cerradura bajo la suma y multiplicaci´n o escalar. Ejemplo ?4.9 Considere el subconjunto W de R3 formado por los vectores de la forma ? a, a, b . Determine si W es un subespacio de R3 . Soluci´n. Veri?cando la cerradura bajo la suma tenemos que o ? ? ? ? ? ? a, a, b + c, c, d = a + c, a + c, b + d
como en la suma, las primeras dos componentes son id´nticas por lo que se cumple e el axioma. Debido a que se cumplen los dos axiomas de cerradura, entonces W es un subespacio de R3 . Ejemplo 4.10 Considere el subconjunto W de R3 formado por los vectores de la forma ? ? a, a2 , b . Determine si W es un subespacio de R3 . Soluci´n. Veri?cando la cerradura bajo la suma tenemos que o ? ? ? ? ? ? a, a2 , b + c, c2 , d = a + c, a2 + c2 , b + d
es un vector con las dos primeras componentes id´nticas, por lo que podemos concluir e que se cumple el axioma de cerradura bajo la suma. Ahora veri?quemos la cerradura bajo la multiplicaci´n escalar. o ? ? ? ? k a, a, b = ka, ka, kb
En este conjunto la forma que tiene los vectores es que la segunda componente es el cuadrado de la primera y de esta forma se puede observar que en el resultado de la suma la segunda componente a2 + c2 ?= (a + c)2 . Por lo tanto W no es no cumple el axioma de cerradura bajo la suma y no es un subespacio de R3 . Ejemplo 4.11 Pruebe que el conjunto U de matrices diagonales de 2 × 2 es un subespacio de M22 . Soluci´n. Se tiene que mostrar que U cumple los axiomas de cerradura bajo la suma o y bajo la multiplicaci´n escalar. Considere los siguientes dos elementos de U . o ? ? ? ? p 0 a 0 y v= u= 0 q 0 b
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Entonces
? ? ? ? ? a+p 0 p 0 a 0 = + u+v = 0 b+q 0 q 0 b ?
Observe que u + v es una matriz diagonal de 2 × 2, por lo u + v ? U y se cumple la cerradura bajo la suma. Sea c un escalar. Entonces ? ? ? ca 0 a 0 = cu = c 0 cb 0 b ? cu es una matriz diagonal de 2 × 2 y entonces se cumple la cerradura bajo la multiplicaci´n escalar. o Concluimos que U es un subespacio de M22 . Teorema 4.12 Sea U un subespacio de un espacio vectorial V . U contiene al vector cero de V ? ?? ? Ejemplo 4.13 Sea W = w ? R3 | w = a, a, a + 2 . Determine si W es un subespacio de R3 . Soluci´n. De acuerdo al teorema 4.12 si W no contiene al vector cero de R 3 entonces o no es un subespacio de R3 . Ahora para para determinar si el vector cero pertenece a W es necesario que se cumpla ? ? ? ? a, a, a + 2 = 0, 0, 0 entonces a=0 a=0 a+2=0 Sin embargo el sistema anterior no tiene soluci´n con lo que se concluye que no existe o alg´n valor de a con el que se pueda obtener el vector cero. u Por lo tanto W no es un subespacio de R3 Ejemplo 4.14 Considere el conjunto V = P4 determine si H = {p ? P4 | p (0) = 1} es un subespacio de P4 Soluci´n. Para que un polinomio pertenezca a H, tiene que cumplir que al evaluarlo o en 0 el resultado es 1, esto es que el t´rmino constante del polinomio es 1. Veri?cando e la cerradura bajo la suma tenemos que si p (x) y q (x) est´n en P4 , entonces a ? ? 4 ? ? 4 p (x) + q (x) = a4 x + a3 x3 + a2 x2 + a1 x + 1 + b4 x + b3 x3 + b2 x2 + b1 x + 1 = (a4 + b4 ) x4 + (a3 + b3 ) x3 + (a2 + b2 ) x2 + (a1 + b1 ) x + 2
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donde podemos observar que el polinomio p (x) + q (x) tiene como t´rmino constante 2 e y por tanto no pertenece a H, con lo que conluimos que H no es un subespacio de V . Ejercicio 4.2 Determine si el conjunto dado H del espacio vectorial V es un subespacio de V ? V = R2 ; H = {(x, y) | y ? 0} ? V = Mm×n ; H = {T ? Mm×n | T es triangular superior} ? V = Pn ; H = {p ? Pn | p (0) = 0 y p? (0) = 0} ? V = Mm×n ; H = {A ? Mm×n | aij = 0}
4.1.3.
Combinaci´n Lineal y Espacio generado o
En esta secci´n estudiaremos las combinaciones lineales de vectores y los espacios o vectoriales generados por un conjunto de vectores. Estos conceptos tambi´n nos servir´n e a para entender el concepto de Base de un espacio vectorial. De?nici´n 4.15 Un vector v en un espacio vectorial V se denomina combinaci´n o o lineal de los vectores u1 , u2 , · · · , uk en V si v puede expresarse en la forma v = c1 u1 + c2 u2 + · · · + ck uk ? ? ? ? Ejemplo 4.16 Considere los vectores v1 = 1, 3, 1 , v2 = 0, 1, 2 , y v3 = ? ? 1, 0, ?5 . v1 es una combinaci´n lineal de v2 y v3 porque o v1 = 3v2 + v3 ? ? ? ? = 3 1, 3, 1 + 1, 0, ?5 ? ? = 1, 3, 1 donde c1 , c2 , · · · , ck son escalares.
Ejemplo 4.17 Considere los siguientes vectores que ? ? ? ? ? 0 2 ?1 0 8 v1 = , v3 = , v2 = 1 0 1 2 1 v1 es una combinaci´n lineal de v2 , v3 y v4 porque o
pertenecen a M2×2 ? ? ? 3 ?2 0 , v4 = 2 1 3
v1 = v2 + 2v3 ? v4 ? ? ? ? ? ? 0 2 ?1 3 ?2 0 = +2 ? 1 3 1 0 1 2 ? ? 0 8 = 2 1
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En los ejemplos anteriores se proporcionan los escalares para que se observe como se forma la combinanci´n lineal. A continuaci´n se mostrar´ como obtener los escalares, o o a en caso de que existan, para expresar a un vector como combinaci´n lineal de otros. o ? ? Ejemplo 4.18 Determine si ? vector 8, 0, 5 es una combinaci´n lineal de los el ? o ? ? ? ? vectores 1, 2, 3 , 0, 1, 4 y 2, ?1, 1 ? R3 . ? ? ? ? ? ? Soluci´n. Para mostrar que 8, 0, 5 es una combinaci´n lineal 1, 2, 3 , 0, 1, 4 o o ? ? y 2, ?1, 1 , entonces deben de existir escalares c1 , c2 y c3 tales que se cumpla ? ? ? ? ? ? ? ? 8, 0, 5 = c1 1, 2, 3 + c2 0, 1, 4 + c3 2, ?1, 1 ? ? ? ? ? ? = c1 , 2c1 , 3c1 + 0, c2 , 4c2 + 2c3 , ?c3 , c3 ? ? = c1 + 2c3 , 2c1 + c2 ? c3, 3c1 + 4c2 + c3 por lo que para encontrar los valores de c1 , c2 y c3 resolvemos el siguiente sistema de ecuaciones. c1 + 2c3 = 8 2c1 + c2 ? c3 = 0 3c1 + 4c2 + c3 = 5 ? ? y Por vector 8, 0, 5 cuya soluci´n es c1 = 2, c2 = ?1 ? c3 = 3. ? ? lo que nos queda que el ? o ? ? si es una combinaci´n lineal de 1, 2, 3 , 0, 1, 4 y 2, ?1, 1 o ? ? ? ? ? ? ? ? 8, 0, 5 = 2 1, 2, 3 ? 1 0, 1, 4 + 3 2, ?1, 1
En caso de que el sistema no hubiera tenido soluci´n, no hubiera sido posible expresar o al vector como una combinaci´n lineal de los otros vectores. o ? ? ? ? ? ? 2 ?3 1 0 ?1 7 es una combinaci´n lineal de o Ejemplo 4.19 Determine si la matriz , 0 2 2 1 8 ?1 ? ? 0 1 y ? M2×2 . 2 0 o Ejemplo 4.20 Determine si el polinomio p (x) = 2x2 + 6x + 7 es una combinaci´n 2 lineal de q (x) = x + 1 y r (x) = 2x + 3. Ejercicio 4.3 Determinar si el conjunto dado de vectores genera al espacio vectorial dado ? ? ? ? ? ? ? En R2 : 0, 1 ; 3, 4 ; ?1, 2 ? ? ? ? ? ? ? En R3 : 1, 1, 1 ; 0, 1, 1 ; 0, 0, 1 ? En P2 : 1 ? x, 3 ? x2 ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 5 4 ?1 1 2 1 0 ; ; ; ? En M22 : 6 0 3 0 0 0 1 0
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